|
 |
|
|
Πίστευα ότι το πρόβλημα που τέθηκε με το περίφημο, πια, 4γ υποερώτημα έχει λυθεί από την μαθηματική - επιστημονική του πλευρά και έχει παραμείνει για λύση το δυσκολότερο: η κοινωνική, εκπαιδευτική, και πολιτική πλευρά του. Η δημοσιοποίηση, σήμερα πιά, μαθηματικών λύσεων του, δεν προσφέρει τίποτα στον μη ειδικό,παρά μόνο σύγχυση. Παρ' όλα αυτά τολμώ να θέσω το πρόβλημα από την καθαρά τεχνική του πλευρά, μια και η λύση που προτάθηκε από τον συνάδελφο Κλάδο Μανούσο, μου φάνηκε ιδιαίτερα σκοτεινή.
Διάβασα πολύ προσεκτικά την λύση του συνάδελφου Κλάδου Μανούσου. Υπάρχει κάποιο σημείο που δεν καταλαβαίνω.
Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή. Πράγματι φτάνουμε (εύκολα ή δύσκολα, αλλά πάντως με μαθηματικά σωστό τρόπο) στο συμπέρασμα ότι υπάρχει σημείο χο στο οποίο η f´´ μηδενίζεται. Πράγματι, στη συνέχεια, πρέπει να αποδείξουμε ότι εκατέρωθεν του χο η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης (και όχι η συνάρτηση, όπως εκ παραδρομής αναφέρει ο συνάδελφος) αλλάζει πρόσημο.
Από το σημείο αυτό και πέρα δεν μπορώ να κατανοήσω τον συλλογισμό του συναδέλφου. Ισχυρίζεται ότι σε ολόκληρο το διάστημα (ξ1,χο) η δεύτερη παράγωγος θα διατηρεί το πρόσημο που έχει στο σημείο ξ1. Τον ισχυρισμό του αυτό προσπαθεί να αποδείξει με απαγωγή σε άτοπο (;). Αν δεν διατηρούσε πρόσημο τότε θα υπήρχε σημείο χν ανάμεσα στο ξ1 και το χο,στο οποίο η f´´ θα είχε διαφορετικό πρόσημο απ' ότι στο ξ1. Ομολογώ ότι στη συνέχεια χάνομαι.
Μια πιθανή συνέχεια του συλλογισμού θα ήταν ότι, αφού η f´´ είναι συνεχής θα υπάρχει κάποιο νέο σημείο ανάμεσα στο ξ1 και το χν, στο οποίο μηδενίζεται. Αυτό που γνωρίζουμε επομένως είναι 1) ότι η δεύτερη παράγωγος μηδενίζεται σε κάποιο σημείο, και 2) ότι υπάρχουν δύο σημεία, ένα αριστερά και ένα δεξιά του σημείου αυτού (τα ξ1 και χν), στα οποία η δεύτερη παράγωγος αλλάζει πρόσημο. Επομένως οι υποθέσεις είναι οι ίδιες και το αδιέξοδο που αντιμετωπίζω πλήρες. Η συνέχεια της απόδειξης από κει και πέρα χάνεται σε μια διαδικασία σχηματισμού διαστημάτων, με αρχή το ξ1 και όλο και μικρότερο πλάτος, μέχρι τον σχηματισμό εκείνου του διαστήματος στο οποίο η f´´, μια και είναι συνεχής, διατηρεί ίδιο πρόσημο με αυτό που έχει στο ξ1. Επομένως: 1) το σημείο που θέλουμε να αποδείξουμε ότι είναι σημείο καμπής, δεν είναι πια το χο, αλλά κάποιο άλλο χλ "πιό κοντά" στο ξ1,(η εμμονή στο χο ως σημείο καμπής είναι εξόφθαλμα λάθος - το χο δεν είναι καν σημείο του διαστήματος (ξ1,χν) 2) το πρόβλημα του γιατί γύρω από το νέο αυτό σημείο η δεύτερη παράγωγος εναλλάσσει πρόσημο παραμένει.
Η προσπάθεια του συναδέλφου να λύσει το δεύτερο αυτό πρόβλημα με μια παρόμοια διαδικασία στο σημείο ξ2 μου προξένησε μεγαλύτερη σύγχυση. Δεν βρίσκω προφανές ότι η νέα αυτή διαδικασία πρέπει να καταλήξει στο ίδιο σημείο χλ. Αν δε, δεν καταλήξει στο ίδιο σημείο, τότε δεν μπορεί να υπάρξει και συμπέρασμα.
Μεγαλύτερη ακόμα σύγχυση μου προξένησε το γεγονός ότι ο συνάδελφος καταλήγει στο συμπέρασμα ότι η f´´ θα διατηρεί τελικά σε ολόκληρο το διάστημα (ξ1,χο) το πρόσημο που έχει στο ξ1, και σε ολόκληρο το (χο,ξ2) το πρόσημο που έχει στο ξ2. Γιατί; Ο συλλογισμός που ξεκίνησε με το σημείο χν, κατέληξε σε κάποιο άτοπο; Η μήπως η "ίδια διαδικασία" στο διάστημα (ξ1,χν) οδήγησε σε κάτι;Το πιό πιθανό είναι ότι ο συνάδελφος θεωρεί πως η διαδικασία που πρότεινε κατέληξε σε κάτι. Πάντως, εγώ τουλάχιστον χρειάζομαι διευκρινήσεις, γιατί το σημείο αυτό μου φαίνεται σκοτεινό.
Αυτό που μου προξενεί την μεγαλύτερη σύγχυση είναι ότι αν η λύση του συναδέλφου είναι σωστή, φτάνουμε στην διατύπωση ενός θεωρήματος, αρκετά σημαντικού για τον απειροστικό λογισμό: αν η δεύτερη παράγωγος είναι συνεχής συνάρτηση, τότε για να έχουμε σημείο καμπής σ' ένα σημείο χο, στο οποίο η δεύτερη παράγωγος μηδενίζεται, μπορούμε να αντικαταστήσουμε την συνθήκη να αλλάζει η δεύτερη παράγωγος πρόσημο εκατέρωθεν του χο, με την συνθήκη να υπάρχει ένα σημείο αριστερά του χο και ένα σημείο δεξιά του, στα οποία η δεύτερη παράγωγος να παίρνει τιμές ετερόσημες.
Πιθανόν οι γνώσεις μου να μη επαρκούν για να καταλάβω τήν αποδεικτική διαδικασία του συναδέλφου. Στην περίπτωση αυτή θα τον παρακαλούσα να δημοσιοποιήσει αυτό που αναφέρει ως "ίδια διαδικασία" λεπτομερώς, ώστε να γίνει κατανόητή, όχι μόνο από μένα, αλλά και από όσους συναδέλφους έχουν το ίδιο ανεπαρκείς μ' εμένα γνώσεις απειροστικού λογισμού. Πρέπει να έγινε φανερό από όσα έγραψα ότι η διαδικασία που αναφέρεται ως "ίδια διαδικασία" δεν είναι, τουλάχιστον για το επίπεδο γνώσεών μου, καθόλου προφανής. Θα τον παρακαλούσα επίσης, τον ίδιο, ή όποιον άλλον γνωρίζει, να δημοσιοποιήσει βιβλιογραφία που να περιέχει προτάσεις σχετικές με τα σημεία καμπής συναρτήσεων με συνεχή δεύτερη παράγωγο, σαν κι αυτή που χρησιμοποιήθηκε, χωρίς να αναφέρεται ρητά, στην απόδειξή του.
|
|
|
Φορέων Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης 
Αποστολή σελίδας 
Εκτυπώσιμη μορφή σελίδας
Προσθήκη σελίδας στα Αγαπημένα
Επιστροφή